\documentclass[12pt]{scrartcl}
\usepackage{spioncamp}
\def\version{2 \today}
\begin{document}
\title{Modulo-Rechnung}
\subtitle{Schlüsselaustausch}

\boxintro{}{%
  \textit{Modulo} ist eine Rechenoperation (wie z.\,B. Addition oder Multiplikation). Sie wird für zahlreiche Verschlüsselungsverfahren und auch für Schlüsselaustausch-Verfahren benötigt. \\
 Mit Modulo, \high{mod}, wird der Rest der ganzzahligen Division bezeichnet.\\


}

\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(0,0)
\put(-4,-3){\includegraphics[width=37mm]{./abbildungen/schluessel-und-schloss.pdf}}
\end{picture} 


Bei der Modulo-Operation muss etwas gerechnet werden. \\Sie ist aber leicht zu verstehen.\\

\example{}{
\vspace{5mm}
%\hspace{5mm}
  Jeder von uns benutzt fast täglich die Modulo-Rechnung. 
Die kommt nämlich bei der Berechnung der Uhrzeit vor.
  Wir sagen zu der Uhrzeit 15:00 Uhr meist 3 Uhr (nachmittags). Das ist die Modulo-Rechnung mit der Zahl 12: $15~mod~12~=~3$, da $15~:~12~=~1$, \hspace{2mm} $\mathbf{3}$ bleibt übrig.\\
}

\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(0,0)
 \put(1.5,14){\includegraphics[width=20mm]{./abbildungen/clock.pdf}}
\end{picture}

Natürlich rechnet man nicht immer $mod~12$. $12$ kann durch jede ganze Zahl ersetzt werden. Bei den meisten Verschlüsselungsverfahren kommen keine negativen Zahlen vor, das macht es etwas einfacher.

\vspace*{1cm}
 
\example{Rechnungen}{
 
\begin{tabular}{p{1cm}rcrcrcrcrrrc}
 ~ & $18$ & $mod$ & $5$ &  $=$ &  $3$ &, da & $18$ & $:$ & $5$ & $=$ & $3$ & \textbf{(Rest 3)}\\
 ~ &  $10$ & $mod$ & $4$ & $=$ & $2$ & , da & $10$ & $:$ & $4$ & $=$ & $2$ & \textbf{(Rest 2)}\\
 ~ &  $14$ & $mod$ & $7$ & $=$ & $0$ & , da & $14$ & $:$ & $7$ & $=$ & $2$ & \textbf{(Rest 0)}\\
\end{tabular}
 
}
 
\end{document}
